Ünalmış pasó su infancia en Kayseri antes de mudarse a Estambul para asistir a la escuela secundaria. Durante sus años de escuela secundaria, jugó para el equipo de baloncesto de Fenerbahçe S.K .. Después de graduarse de la Universidad de Mármara con un título en estudios de comunicación, Ünalmış estudió actuación en la Academia de Estambul.

Poco después de terminar sus estudios, apareció en varias series de televisión, incluidas Hayat Bağları, Limited Love y Lead Wound, así como en películas como Üç Kadın, Deli Duran y Sen Ne Dilersen. Su avance llegó con un papel en I Saw the Sun de Mahsun Kırmızıgül. Más tarde apareció en otra película dirigida por Kırmızıgül, titulada Beş Minare en Nueva York. Ünalmış también tuvo un papel principal en la serie Yer Gök Aşk. Luego fue elegido para el papel de Sevda Kuşun Kanadında de TRT 1. En 2018, obtuvo el papel principal en la serie dramática de época Bir Zamanlar Çukurova.

Marmara Üniversitesi İşletme Bölümünden mezun olmuştur. Akademi İstanbul’da oyunculuk eğitimi almıştır. Güneşi Gördüm filmiyle tanınmıştır. Ünalmış hobi olarak klarnet çalmayı öğrenmiştir. Atv'de yayınlanan Şöhret dizisinde Mert karakteri ile başrol oynamıştır. 2011 yılında Birce Akalay ile evlenmiş 2012 yılında boşanmıştır. Lise yıllarında profesyonel olarak Fenerbahçe Spor Kulübü’nde basketbol oynamıştır. Şimdiye kadar 20 kadar film ve dizide rol alan Murat Ünalmış, 2018 yılından itibaren Bir Zamanlar Çukurova dizisinin kadrosunda Demir rolünü canlandırmaktadır.